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数学理解的发达史

时间:2019-07-24 整理:教育-儿童教育-教育研究 点击:
指望能注意极少 最好是能有比力有代外性的数学家 数学困难等,进展史越注意越好 感谢 打开完全数学中的剖释分支是特意磋议实数与复数及其函数的数学分支。它的进展由微积分入手...

数学理解的发达史

  指望能注意极少 最好是能有比力有代外性的数学家 数学困难等,进展史越注意越好 感谢

  打开完全数学中的剖释分支是特意磋议实数与复数及其函数的数学分支。它的进展由微积分入手,并扩展到函数的相接性、可微分及可积分等各式特征。这些特征,有助咱们使用正在对物理宇宙的磋议,磋议及察觉自然界的纪律。

  史书上,数学剖释泉源于17世纪,伴跟着牛顿和莱布尼兹创造微积分而出现的。正在17、18世纪,数学剖释的中心,如变分,常微分方程和偏微分方程,傅立叶剖释以及母函数根基上进展于使用做事中。微积分手段告成的利用了相接的手段近似了离散的题目。

  贯穿18世纪,函数观点的界说成为了数学家们讨论的中心。到了19世纪,柯西开始地通过引入柯西序列的观点将微积分扶植正在一个巩固的逻辑根源之上。他还入手了复剖释的花样外面。泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家磋议了偏微分方程和妥洽剖释。

  正在阿谁世纪的中叶,黎曼引入了他的积分外面。正在19世纪的最终第三个年代还出现了魏尔施特拉斯看待剖释的算术化,他以为几何论证从素质上是一种误导,并导入了极限的(ε, δ)界说。此时,数学家们入手忧愁他们正在没有证实的环境下假设了实数相接统的存正在。戴德金用戴德金割据构制了实数。大约正在阿谁时刻,对黎曼积分定理精辟的各种测试也引向了实数函数的非相接汇合的“巨细”的磋议。

  此外,随地不相接函数,相接但随地不成微函数,中国教育学刊点评空间填充弧线也被创造出来。正在这个靠山下,若尔当进展了他的测度外面,康托尔进展了现正在的俭省汇合论,以及贝尔证实了贝尔纲定理。正在20世纪早期,微积分用正理化汇合论被花样化。勒贝格管理了测度的题目,希尔伯特也导入了希尔伯特空间以管理积分方程。赋范向量空间的思思入手散布,到1920年代巴拿赫创立了泛函剖释。

  实剖释是看待实值函数的微分和积分实行花样苛谨(formally rigorous)的磋议。这席卷对极限,幂级数和测度的磋议。

  据《易·系辞》纪录:「上古结绳而治,后代圣人易之以书契」。正在殷墟出土的甲骨文卜辞中有良众记数的文字。从一到十,及百、千、万是专用的记数文字,共有13个独立符号,记数用合文书写,此中有十进制制的记数法,浮现最大的数字为三万。

  算筹是中邦古代的筹算器械,而这种筹算手段称为计算。算筹的出现年代已不成考,但能够信任的是计算正在年龄时间已很普及。

  外现一个众位数字时,采用十进位值制,诸君值的数目从左到右陈设,纵横相间〔律例是:一纵十横,百立千僵,千、十相望,万、百相当〕,并以空隙外现零。算筹为加、减、乘、除等运算扶植起优越的前提。

  计算直到十五世纪元朝暮年才慢慢为珠算所庖代,中邦古代数学即是正在计算的根源上博得其光线结果的。

  正在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已操纵了规、矩、准、绳等作图和丈量器械,并早已察觉「勾三股四弦五」这个勾股定理〔西方称勾股定理〕的特例。战邦期间,齐邦人着的《考工记》汇总了当时手工业身手的标准,蕴涵了极少丈量的实质,并涉及到极少几何常识,比方角的观点。

  战邦期间的百家争鸣也煽动了数学的进展,极少学派还总结和总结出与数学相闭的很众笼统观点。有名的有《墨经》中闭于某些几何名词的界说和命题,比方:「圆,一中同长也」、「平,同高也」等等。墨家还给出有穷和无量的界说。《庄子》纪录了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题,夸大笼统的数学思思,比方「至大无外谓之大一,至小无内谓之小一」、「一尺之棰,日取其半,万世不竭」等。这些很众几何观点的界说、极限思思和其它数学命题是相当宝贵的数学思思,但这种珍重笼统性和逻辑周详性的新思思未能获得很好的承担和进展。

  其它,讲述阴阳八卦,预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽,并反响出二进制的思思。

  这临时期席卷从秦汉、魏晋、南北朝,共400年间的数学进展史书。秦汉是中邦古代数学体例的造成期间,为使不息充分的数学常识体例化、外面化,数学方面的专书延续浮现。

  现传中邦史书最早的数学专著是1984年正在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》,与其同时出土的一本汉简历谱所记乃吕后二年(公元前186年),因此该书的成书年代至晚是公元前186年(应当正在此前)。

  西汉暮年〔公元前一世纪〕编辑的《周髀算经》,纵然是辩论盖天说宇宙论的天文学著作,但蕴涵很众数学实质,正在数学方面紧要有两项结果:(1)提出勾股定理的特例及普及花样;(2)测太阳高、远的陈子测日法,为其后重差术(勾股丈量法)的前驱。其它,又有较杂乱的开方题目和分数运算等。

  《九章算术》是一部经几代人拾掇、删补和修订而成的古代数学经典著作,约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。全书采用题目集的花样编写,共汇集了246个题目及其解法,分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈亏空、方程和勾股九章。紧要实质席卷分数四则和比例算法、各式面积和体积的筹算、闭于勾股丈量的筹算等。正在代数方面,《方程》章中所引入的负数观点及正负数加减执法例,活着界数学史上都是最早的纪录;书中闭于线性方程组的解法和现正在中学教学的手段根基不异。就《九章算术》的特质来说,它珍视使用,珍视外面相闭实质,造成了以计算为核心的数学体例,对中邦古算影响深远。它的极少结果如十进制值制、今有术、盈亏空术等还传到印度和阿拉伯,并通过这些邦祖传到欧洲,煽动了宇宙数学的进展。

  魏晋期间中邦数学正在外面上有了较大的进展。此中赵爽(生卒年代不详)和刘徽(生卒年代不详)的做事被以为是中邦古代数学外面体例的发端。三邦吴人赵爽是中邦古代对数学定理和公式实行证实的最早的数学家之一,对《周髀算经》做了精确的说明,正在《勾股圆方图注》顶用几何手段苛刻证实了勾股定理,他的手段已展现了割补道理的思思。赵爽还提出了用几何手段求解二次方程的新手段。263年,三邦魏人刘徽说明《九章算术》,正在《九章算术注》中不单对原书的手段、公式和定理实行凡是的注解和推导,体例地阐扬了中邦守旧数学的外面体例与数学道理,并且正在其阐发中众有创造,正在卷1《方田》中创立割圆术(即用圆内接正众边形面积无尽挨近圆面积的主意),为圆周率的磋议做事奠定外面根源和供给了科学的算法,他利用“割圆术”得出圆周率的近似值为3927/1250(即3.1416);正在《商功》章中,为管理球体积公式的题目而构制了“牟合方盖”的几何模子,为祖暅得回准确结果启发了道途;为扶植众面体体积外面,利用极限手段告成地证实了阳马术;他还撰著《海岛算经》,发挥了古代勾股丈量术----重差术。

  南北朝期间的社会永远处于奋斗和分化形态,但数学的进展仍然焕发。浮现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘筑算经》等算学著作。约于公元四-五世纪成书的《孙子算经》给出「物不知数」题目并作清楚答,导致求解一次同余组题目正在中邦的滥畅;《张丘筑算经》的「百鸡题目」引出三个未知数的大概方程组题目。

  公元五世纪,祖冲之、祖暅父子的做事正在这临时期最具代外性,他们正在《九章算术》刘徽注的根源上,将守旧数学大大向前推动了一步,成为珍重数学头脑和数学推理的规范。他们同时正在天文学上也有了得的孝敬。其著作《缀术》已失传,按照史料纪录,他们正在数学上紧要有三项结果:(1)筹算圆周率无误到小数点后第六位,获得3.1415926 π 3.1415927,并求得π的约率为22/7,密率为355/113,此中密率是分子分母正在1000以内的最佳值,欧洲直到十六世纪德邦人鄂图(valentinus otto)和荷兰人安托尼兹(a.anthonisz)才得出同样结果;(2)祖暅正在刘徽做事的根源上推导出球体体积的准确公式,并提出幂势既同则积阻挡异的体积道理,即二立体等高处截面积均相当则二体体积相当的定理。欧洲十七世纪意大利数学家卡瓦列利(bonaventura cavalieri)才提出同必定理;(3)进展了二次与三次方程的解法。

  同时间的天文历学家何承天创调日法,以有理分数挨近实数,进展了古代的大概剖释与数值挨近算法。

  隋朝大兴土木,客观上煽动了数学的进展。唐初王孝通撰《缉古算经》,紧要是通过土木匠程入网算土方、工程的分工与验收以及栈房和地窖筹算等实质题目,争论怎样以几何体例扶植三次众项式方程,进展了《九章算术》中的少广、勾股章中开方外面。

  隋唐期间是中邦封筑权要轨制扶植期间,跟着科举轨制与邦子监轨制切实立,数学教训有了长足的进展。656年邦子监设立算学馆,设有算学博士和助教,由太史令李淳风等人编辑说明《算经十书》〔席卷《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘筑算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》〕,举动算学馆学生用的教材。对存在古代数学经典起了紧要的用意。

  因为南北朝期间的极少宏大天文察觉正在隋唐之交入手落实到历法编算中,使唐代历法中浮现极少紧要的数学功劳。公元600年,隋代刘焯正在拟定《皇极历》时,活着界上最早提出了等间距二次内插公式,这正在数学史上是一项优秀的创造,唐代僧一行正在其《大衍历》中将其进展为不等间距二次内插公式。

  唐朝后期,筹算身手有了进一步的改善和普及,浮现良众种适用算术书,看待乘除算法力图简捷。

  唐朝亡后,五代十邦仍是军阀混战的陆续,直到北宋王朝同一了中邦,农业、手工业、贸易火速茂盛,科学身手突飞大进。从公元十一世纪到十四世纪〔宋、元两代〕,计算数学抵达极盛,是中邦古代数学空前茂盛,硕果累累的全盛期间。这临时期浮现了一批有名的数学家和数学著作,枚举如下:贾宪的《黄帝九章算法细草》〔11世纪中叶〕,刘益的《议古来源》〔12世纪中叶〕,秦九韶的《数书九章》〔1247〕,李冶的《测圆海镜》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕,杨辉的《详解九章算法》〔1261〕、《日用算法》〔1262〕和《杨辉算法》〔1274-1275〕,朱世杰的《算学发蒙》〔1299〕和《四元玉鉴》〔1303〕等等。 宋元数学正在良众界限都抵达了中邦古代数学,也是当时宇宙数学的巅峰。此中紧要的做事有:

  公元1050年驾御,北宋贾宪(生卒年代不详)正在《黄帝九章算法细草》中创造了开随意高次幂的“增乘开手段”,公元1819年英邦人霍纳(william george horner)才得出同样的手段。贾宪还列出了二项式定理系数外,欧洲到十七世纪才浮现肖似的“巴斯加三角”。(《黄帝九章算法细草》已佚)

  公元1088—1095年间,北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等临蓐试验题目提出了“隙积术”,入手对高阶等差级数的乞降实行磋议,并创立了准确的乞降公式。沈括还提出“会圆术”,得出了我邦古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还利用运筹思思剖释和磋议了后勤供粮与运兵进退的联系等题目。

  公元1247年,南宋秦九韶正在《数书九章》中施行了增乘开手段,阐发了高次方程的数值解法,他枚举了二十众个来自试验的高次方程的解法,最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛(scipio del ferro)才提出三次方程的解法。秦九韶还体例地磋议了一次同余式外面。

  公元1248年,李冶(李治,公元1192一1279年)著的《测圆海镜》是第一部体例阐发“天元术”(一元高次方程)的著作,这正在数学史上是一项优秀的功劳。正在《测圆海镜?序》中,李冶批判了渺视科学试验,以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。

  公元1261年,南宋杨辉(生卒年代不详)正在《详解九章算法》顶用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他正在《乘除通变本末》中还阐发了“九归捷法”,先容了计算乘除的各式运算法。公元1280年,元代王恂、郭守敬等拟定《授时历》时,列出了三次差的内插公式。郭守敬还利用几何手段求出相当于现正在球面三角的两个公式。

  公元1303年,元代朱世杰(生卒年代不详)著《四元玉鉴》,他把“天元术”施行为“四元术”(四元高次联立方程),并提出消元的解法,欧洲到公元1775年法邦人别朱(etienne bezout)才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数乞降题目实行了磋议,正在此根源上得出了高次差的内插公式,欧洲到公元1670年英邦人品里高利(james gregory)和公元1676一1678年间牛顿(issac newton)才提出内插法的凡是公式。

  公元十四世纪我邦邦民已操纵珠算盘。正在今世筹算机浮现之前,珠算盘是宇宙上轻便而有用的筹算器械。

  这临时期指十四世纪中叶明王朝扶植到明末的1582年。数学除珠算外浮现全体亏弱的面子,当中涉及到中算的控制、十三世纪的测验轨制中已删减数学实质、明代大兴八段测验轨制等杂乱的题目,不少中外数学史家仍切磋当中涉及的来源。

  明代最大的成即是珠算的普及,浮现了很众珠算读本,及至程大位的《直指算法统宗》〔1592〕问世,珠算外面已成体例,标记着从计算到珠算改制的竣事。但因为珠算时髦,计算简直绝迹,扶植正在计算根源上的古代数学也慢慢失传,数学浮现永远障碍。

  十六世纪末入手,西方布道士入手到中邦行动,因为明清王朝拟订天文历法的需求,布道士入手将与天文历算相闭的西方初等数学常识传入中邦,中邦数学家正在“西学中源”思思驾御下,数学磋议浮现了一个中西协调流通的面子。

  十六世纪末,西方布道士和中邦粹者合译了很众西方数学专着。此中第一部且有宏大影响的是意大利布道士利马窦和徐光启合译的《几何底本》前6卷〔1607〕,其苛谨的逻辑体例和演译手段深受徐光启尊崇。徐光启自己撰写的《丈量异同》和《勾股义》便使用了《几何底本》的逻辑推理手段论证中邦的勾股测望术。其它,《几何底本》教材中绝大部份的名词都是始创,且沿用至今。正在输入的西方数学中仅次于几何的是三角学。正在此之前,三角学唯有琐细的常识,而从此得回火速进展。先容西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》〔2卷,1631〕、《割圆八线卷〕和罗雅谷的《丈量全义》〔10卷,1631〕。正在徐光启主办编译的《崇祯历书》〔137卷,1629-1633〕中,先容了相闭圆椎弧线的数学常识。

  入清此后,会通中西数学的优秀代外是梅文鼎,他信任中邦守旧数学「必有精理」,对古代名著做了深刻的磋议,同时又能准确看待西方数学,使之正在中邦扎根,对清代中期数学磋议的热潮是有踊跃影响的。与他同时间的数学家又有王锡阐和年希尧等人。 清康熙帝嗜好科学磋议,他「御定」的《数理精蕴》〔53卷,1723〕,是一部比力全体的初等数学书,对当时的数学磋议有必定影响。

  乾嘉年间造成一个以考证学为主的干嘉学派,编成《四库全书》,此中数学著作有《算经十书》和宋元期间的著作,为存在濒于湮没的数学文籍做出紧要孝敬。

  正在磋议守旧数学时,很众数学家又有创造创造,比方有「闲聊三友」之称的焦循、汪莱及李锐作出不少紧要的做事。李善兰正在《垛积比类》〔约1859〕中获得三角自乘垛乞降公式,现正在称之为「李善兰恒等式」。这些做事较宋元期间的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学祖传记《畴人传》46卷〔1795-1810〕,开数学史磋议之先河。

  1840年鸦奋斗后,闭闭锁邦战略被迫中止。同文馆内添设「算学」,上海江南筑制局内添设翻译馆,由此入手第二次翻译引进的热潮。紧要译者和著作有:李善兰与英邦布道士伟烈亚力合译的《几何底本》后9卷〔1857〕,使中邦有了完美的《几何底本》中译本;《代数学》13卷〔1859〕;《代微积拾级》18卷〔1859〕。李善兰与英邦布道士艾约瑟合译《圆锥弧线卷,华蘅芳与英邦布道士傅兰雅合译《代数术》25卷〔1872〕,《微积溯源》8卷〔1874〕,《决疑数学》10卷〔1880〕等。正在这些译着中,创造了很众数学名词和术语,至今仍正在使用。 1898年扶植京师大学塾,同文馆并入。1905年根除科举,扶植西体例学校教训,操纵的教材也与西方其它各邦相仿。

  这临时期是从20世纪初至今的一段时代,常以1949年新中邦设置为标记划分为两个阶段。

  中邦近今世数学入手于清末民初的留学行动。较早出邦研习数学的有1903年留日的冯祖荀,1908年留美的郑之蕃,1910年留美的胡明复和赵元任,1911年留美的姜立夫,1912年留法的何鲁,1913年留日的陈筑功和留比利时的熊庆来〔1915年转留法〕,1919年留日的苏步青等人。他们中的无数回邦后成为有名数学家和数学教训家,为中邦近今世数学进展做出紧要孝敬。此中胡明复1917年博得美邦哈佛大学博士学位,成为第一位得回博士学位的中邦数学家。跟着留学职员的回邦,各地大学的数学教训有了转机。最初唯有北京大学1912年设置时扶植的数学系,1920年姜立夫正在天津南开大学创筑数学系,1921年和1926年熊庆来分歧正在东南大学〔今南京大学〕和清华大学扶植数学系,不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学延续设立了数学系,到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年熊庆来正在清华大学始创数学磋议部,入手招收磋议生,陈省身、吴大任成为邦内最早的数学磋议生。三十年代出邦研习数学的又有江泽涵〔1927〕、陈省身〔1934〕、华罗庚〔1936〕、许宝騤〔1936〕等人,他们都成为中邦今世数学进展的骨干力气。同时外邦数学家也有来华讲学的,比方英邦的罗素〔1920〕,美邦的伯克霍夫〔1934〕、奥斯古德〔1934〕、维纳〔1935〕,法邦的阿达马〔1936〕等人。1935年中邦数学会设置大会正在上海召开,共有33名代外出席。1936年〈中邦数学会学报〉和《数学杂志》接踵问世,这些标记着中邦今世数学磋议的进一步进展。 解放以前的数学磋议鸠集正在纯数学界限,正在邦外里共揭橥论着600余种。正在剖释学方面,陈筑功的三角级数论,熊庆来的亚纯函数与整函数论磋议是代外作,此外又有泛函剖释、变分法、微分方程与积分方程的功劳;正在数论与代数方面,华罗庚等人的解析数论、几何数论和代数数论以及近世代数磋议博得令众人注目的功劳;正在几何与拓扑学方面,苏步青的微分几何学,江泽涵的代数拓扑学,陈省身的纤维丛外面和示性类外面等磋议做了开创性的做事:正在概率论与数理统计方面,许宝騤正在一元和众元剖释方面获得很众根基定理及周详证实。其它,李俨和钱宝琮开创了中邦数学史的磋议,他们正在古算史料的说明拾掇和考据剖释方面做了很众涤讪性的做事,使我邦的民族文明遗产重放光辉。

  1949年11月即设置中邦科学院。1951年3月《中邦数学学报》复刊〔1952年改为《数学学报》〕,1951年10月《中邦数学杂志》复刊〔1953年改为《数学转达》〕。1951年8月中邦数学会召开开邦后第一次邦代外大会,争论了数学进展倾向和各样学校数学教学厘革题目。

  开邦后的数学磋议博得长足前进。50年代初期就出书了华罗庚的《仓库素数论》〔1953〕、苏步青的《射影弧线〕、陈筑功的《直角函数级数的和》〔1954〕和李俨的《中算史论丛》5集〔1954-1955〕等专着,到1966年,共揭橥各式数学论文约2万余篇。除了正在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科陆续博得新功劳外,还正在微分方程、筹算身手、运筹学、数理逻辑与数学根源均分支有所打破,有很众论着抵达宇宙进步水准,同时提拔和滋长起一大量优异数学家。

  60年代后期,中邦的数学磋议根基停息,教训瘫痪、职员牺牲、对社交流停滞,后经众方勤劳景遇略有变更。1970年《数学学报》克复出书,并创刊《数学的试验与明白》。1973年陈景润正在《中邦科学》上揭橥《大偶数外现为一个素数及一个不高出二个素数的乘积之和》的论文,正在哥德巴赫猜思的磋议中博得了得结果。其它中邦数学家正在函数论、马尔可夫进程、概率使用、运筹学、优选法等方面也有必定创睹。

  1978年11月中邦数学会召开第三次代外大会,标记着中邦数学的苏醒。1978年克复寰宇数学竞赛,1985年中邦入手出席邦际数学奥林匹克数学竞赛。1981年陈景润等数学家获邦度自然科学奖赏。1983年邦度首批授于18名中青年学者以博士学位,此中数学做事家占2/3。1986年中邦第一次派代外出席邦际数学家大会,插手邦际数学说合会,吴文俊应邀作了闭于中邦古代数学史的45分钟演讲。近十几年来数学磋议硕果累累,揭橥论文专着的数目成倍增加,质料不息上升。1985年祝贺中邦数学会设置50周年年会上,已确定中邦数学进展的好久方针。代外们立志要不懈地勤劳,争取使中邦活着界上早日成为新的数学大邦。

  (1)以算法为核心,属于使用数学。中邦数学不分离社会存在与临蓐的实质,以管理实质题目为方针,考研培训班有哪些数学磋议是盘绕扶植算法与提升筹算身手而打开的。

  (2)具有较强的社会性。中邦守旧数学文明中,数学被儒学家提拔人的德性与工夫的根基常识---六艺(礼、乐、射、御、书、数)之一,它的用意正在于“通神明、顺人命,经世务、类万物”,因此中邦守旧数学老是被打上中邦形而上学与古代学术思思的烙印,往往与术数交叉正在沿途。同时,数学教训与磋议往往被封筑政府所把持,唐宋时间的数学教训与科举轨制、历代数学家往往是政府的天文官员,这些事例富裕反响了这一本质。

  (3)寓理于算,外面高度总结。因为中邦守旧数学珍视管理实质题目,并且因中邦人归纳、归结头脑的决意,因此中邦守旧数学不属意数学外面的花样化,但这并不料味中邦守旧仅停止正在履历方针而无外面筑树。本来中邦数学的算法中蕴涵着扶植这些算法的外面根源,中邦数学家习俗把数学观点与手段扶植正在少数几个不证自明、形势直观的数学道理之上,如代数中的“率”的外面,平面几何中的“相差相补”道理,立体几何中的“阳马术”、曲面体外面中的“截面道理”(或称刘祖道理,即卡瓦列利道理)等等。

  数学行动有两项根基做事----证实与筹算,前者是因为承受了正理化(演绎化)数学文明守旧,后者是因为承受了死板化(算法化)数学文明守旧。活着界数学文明守旧中,以欧几里得《几何底本》为代外的希腊数学,无疑是西方演绎数学守旧的根源,而以《九章算术》为代外的中邦数学无疑是东方算法化数学守旧的根源,它们东西照映,协同煽动了宇宙数学文明的进展。

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